離散數學

1 站在巨人的肩膀上
1.1 實驗發現. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 黑體輻射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 光電效應. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 干涉實驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Stern–Gerlach 實驗. . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 康普頓實驗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 初期理論進展. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 薛丁格的波動力學. . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 海森堡的矩陣力學. . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 量子悖論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 薛丁格之貓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 狄拉克的符號. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 量子詮釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 哥本哈根詮釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 隱藏變數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 多世詮釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4 一致歷史詮釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 量子力學的假設. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 盲人摸象37
2.1 系統狀態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 波函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 波函數的相等. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 機率空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.2 主觀機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.3 樣本空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.4 聯合機率與條件機率. . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.5 凡氏圖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.6 期望值與不確定性. . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Hilbert 空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.1 軛米算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 頻譜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.3 連續頻譜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.4 算子函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.5 跡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.6 位置算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.7 動量算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.8 能量算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.9 移位算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.10 變換基底. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7 交換子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8 位置算子與動量算子的交換關係. . . . . . . . . . . . 78
2.9 觀測的值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.10 準機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.11 波函數的動量空間表示法. . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.12 得知當下迷失未來. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.13 量子邏輯. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 密度矩陣99
3.1 單純態與混合態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 密度矩陣的特性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Poincaré 球. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 包立矩陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 計算法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.1 期望值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.2 系集的演化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.3 統計性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6 複合系統. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.7 複合系統的熵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.8 部分跡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.9 史密特拆解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.10 純度與純化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.11 糾結. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.12 不可複製定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.13 測量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.13.1 馮紐曼測量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.13.2 正定算子測量. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.14 儀器的非必要性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.15 量子操控. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.16 糾結轉換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.17 決定密度矩陣. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4 動態系統151
4.1 薛丁格方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 穩態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3 時間平移. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4 波恩法則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5 不同觀點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.1 海森堡觀點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.5.2 狄拉克觀點. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.6 歷史. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.7 連鎖態與一致條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.8 艾倫費思定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.9 均功定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.10 機率密度流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.11 能量時間的測不準關係. . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.12 時間算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.13 量子狀態轉換的速度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5 常見的量子系統179
5.1 阱中的粒子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1.1 有限深阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1.2 無限高阱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.1.3 雙阱模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2 散射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.3 簡諧振盪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3.1 代數解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.2 系統演化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4 一維週期場. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.5 Morse 位能. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6 角動量與自旋215
6.1 角動量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2 旋轉與角動量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.3 角動量的固有狀態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.3.1 固有值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.3.2 固有狀態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.4 氫原子模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.5 包立的氫原子能階. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.6 自旋. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.7 角動量的相加. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.8 Wigner-Eckart 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.9 EPR 悖論與貝爾不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7 近似解267
7.1 微擾理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.1.1 穩態微擾理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.1.2 變態微擾理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.1.2.1 交互作用觀點. . . . . . . . . . . . . 283
7.1.2.2 費米黃金律. . . . . . . . . . . . . . 284
7.1.2.3 緩變近似法. . . . . . . . . . . . . . 285
7.1.2.4 Berry 相位. . . . . . . . . . . . . . . 287
7.1.3 Born-Oppenheimer 近似. . . . . . . . . . . . 287
7.2 變分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7.3 WKB 近似. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8 相同粒子303
8.1 包立不相容原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2 波函數的對稱性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3 雙原子分子能譜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.4 自旋與對稱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.5 H+
2 分子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.6 氦原子模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.6.1 微擾法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.6.2 變分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9 量子光學323
9.1 帶電粒子運動方程式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.2 Aharonov-Bohm 效應. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.3 Wigner 函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.4 Casimir 效應. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.5 電磁場的量子化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.6 電磁場的特殊狀態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.6.1 數目狀態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.6.2 同調態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.6.3 壓縮態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.6.4 反群聚態. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337